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Registro delle lezioni
Lezione 1 (13/10/2020) Informazioni sul corso: orario, frequenza, contatti, prerequisiti, programma, libri di testo, modalità d’esame, consigli sullo studio
Lezione 2 (15/10/2020) Fondamenti di matematica: metodo assiomatico, nozioni primitive, assiomi, teoremi, ipotesi e tesi di un teorema, dimostrazione di un teorema. Insiemi, elementi di un insieme, sottoinsiemi, diagrammi di Eulero-Venn, sottoinsiemi. Operazioni tra insiemi: insieme complementare, differenza insiemistica, intersezione unione, prodotto cartesiano. Insieme dei numeri naturali.
Lezione 3 (20/10/2020) Numeri interi. Numeri razionali. Numeri reali. Rappresentazione dei numeri reali sulla retta. Definizione di potenza. Proprietà delle potenze. Potenze con base negativa, potenze con esponente nullo. Potenze con esponente razionale: le radici. Notazione scientifica. Approssimazioni. Proporzioni.
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Lezione 4 (22/10/2020) Percentuali. Esercizi su proporzioni e percentuali. Introduzione alla geometria analitica. Piano cartesiano. corrispondenza biunivoca fra punti del piano e coppie ordinate di numeri reali
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Lezione 5 (27/10/2020) Valore assoluto. Distanza tra due punti. Relazioni. Definizione di funzione. Equazione di una retta in forma implicita. Rette orizzontali e verticali. Equazione della retta in forma esplicita. Rappresentare una retta nel piano cartesiano.
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Lezione 6 (3/11/2020) Retta passante per un punto e avente direzione assegnata. Condizioni di parallelismo e perpendicolarità. Coefficiente angolare della retta passante per due punti. Retta passante per due punti. Posizione reciproca tra due rette: rette incidenti, parallele e coincidenti. Generalità sulle coniche. Circonferenza come luogo di punti. Equazione della circonferenza.
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Lezione 7 (5/11/2020) Parabola come luogo di punti. Proprietà focale. Equazione della parabola. Definizione di funzione ed esempi. Funzioni iniettive, suriettive e bigettive. Funzione inversa. Composizione di funzioni. Funzioni reali a variabile reale.
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Lezione 8 (10/11/2020) Grafico di una funzione reale a variabile reale. Esercizi sul calcolo del dominio di una funzione.
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Lezione 9 (12/11/2020) Esercizi sul calcolo del dominio di una funzione. Funzioni monotone. Funzioni convesse e concave. Funzioni pari.
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Lezione 10 (17/11/2020) Funzioni dispari. Funzioni elementari: lineari, potenza, esponenziali. Modelli matematici. Esempi di funzioni esponenziali come modelli matematici.
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Lezione 11 (19/11/2020) Modelli matematici in cui si utilizza l’esponenziale: funzione logistica, modello di Gompertz, decadimento esponenziale della concentrazione di un farmaco nel sangue, metodo del carbonio-14. Crescita esponenziale. Funzione logaritmica. Funzioni quasi-elementari: valore assoluto di una funzione elementare, traslazione verticale di una funzione elementare, traslazione orizzontale di una funzione elementare. Esercizi sulle funzioni quasi-elementari.
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Lezione 12 (24/11/2020): esercizi su funzioni quasi-elementari e sul dominio di funzioni. Topologia della retta: retta ampliata, intorno di un numero reale, punti interni, punti esterni, punti di frontiera, punti di accumulazione. Definizione informale di limite.
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Lezione 13 (26/11/2020) Definizione di limite. Esempi di limiti. Asintoti verticali e orizzontali. Esercizi su come determinare i limiti di una funzione a partire dal grafico. Operazioni con i limiti. Forme di indeterminazione. Calcolo dei limiti di funzioni polinomiali. Ordini di infinito.
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Lezione 14 (1/12/2020) Limiti di funzioni razionali fratte. Ordini di infinitesimi. Esercizi sui limiti.
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Lezione 15 (3/12/2020) Esercizi sui limiti. Asintoti obliqui. Funzioni continue. Discontinuità. Definizione di massimi e minimi di un intervallo di numeri reali.
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Lezione 16 (10/12/2020) Definizioni di massimo e minimo di una funzione (locale e globale). Teorema di Weierstrass. Teorema di Darboux. Teorema degli zeri. Metodo di bisezione.
Derivate: rapporto incrementale, interpretazione geometrica del rapporto incrementale, definizione di derivata, interpretazione geometrica della derivata.
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Lezione 17 (15/12/2020) Esercizi su dominio e limiti. Derivata di una potenza, di una costante, dell’esponenziale, del logaritmo, di funzioni trigonometriche.
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Lezione 18 (16/12/2020) Esercizi su dominio e limiti. Derivata di una somma, di un prodotto, di un rapporto. Derivata di funzioni composte. Esercizi sulle derivate.
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Lezione 19 (17/12/2020) Uso della derivata prima per lo studio della monotonia di una funzione e per la ricerca degli eventuali punti di massimo o minimo. Teorema di Fermat, esempi e controesempi. Uso della derivata seconda per lo studio della concavità e convessità di una funzione e la ricerca di eventuali punto di flesso. Esercizio sullo studio di una funzione.
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Lezione 20 (22/12/2020) Punti di non derivabilità: punto angoloso, cuspide, flesso a tangente verticale. Relazione tra derivabilità e continuità. Teorema di De l’Hopital. Dimostrazione delle gerarchie di infiniti con il teorema di De l’Hopital. Dimostrazione di alcuni limiti notevoli attraverso il teorema di De l’Hopital. Altre applicazioni delle derivate: grandezze fisiche, problemi di ottimizzazione.
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Lezione 21 (7/01/2021) Definizione di primitiva, integrale indefinito, linearità dell’integrale. Integrale definito, costruzione dell’integrale definito, significato geometrico dell’integrale definito, teorema fondamentale del calcolo integrale.
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Lezione 22 (12/01/2021) Esercizi sugli integrali. Introduzione alla statistica: popolazione, campione, carattere modalità. Statistica descrittiva. Frequenza assoluta, funzione distribuzione delle frequenze, frequenza relativa, frequenza percentuale.
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Lezione 23 (14/01/2021) Rappresentazioni grafiche dei dati: diagramma a barre, istogramma, diagramma circolare, diagramma cartesiano. Indici di posizione: media aritmetica, mediana, moda. Media aritmetica ponderata, media geometrica. Indici di dispersione: varianza, deviazione standard. Curve fitting. Metodo dei minimi quadrati. Regressione lineare. Covarianza.
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Lezione 24 (19/01/2021) Esercizi.
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